归纳与统计：频率论者范式

“频率论者范式”试图对“贝叶斯范式”作出改进，特别是，前者寻求消除贝叶斯范式中的先验设置——因为对科学家来说，寻找附加的先验信息，几乎是一种负担。

严格的给出一个已知的先验值，贝叶斯方法可以顺理成章地运用——但要害问题在于：常常无法得知先验值

频率论者范式强调的是：证伪（排斥、拒绝），而不是接受或者证明假说。

按照频率论者所创立的统计学，在所考虑的各个假说中间，特意安排一个零位假说。

• 零位假说可能为真，也可能为假。经过统计检测，这个零位假说可能被接受，也可能被拒绝。
  • 这样一来就有了四种可能情况：

    	真	假
    接受	成功	II 类错误
    拒绝	I 类错误	成功

  • I 类错误，指拒绝了一个真的零位假说；
  • II 类错误，指接受了一个假的零位假说。
• 首先无法确定零位假说的真假，所以为了得出两类错误都比较低的结果，必然存在着一个两者之间内丰的平衡。为了达到这个平衡点，最理想的方法就是分别计算I 类和II 错误所付出的代价或损失，然后对这些错误加以平衡。
• 按照常规的惯例，科学家们都倾向于把I 类错误率设置到一个便于操作的水平上，而不去理会相应的II 类错误率究竟是多少。
• 另外，还有一个重要的数值，就是p值。
  • 把它定义为获得一种结果的概率，在假定零位假说为真的前提下，至少能与观察到的预期值相同，并包含实际观察到的预期值以上的那些数值。
  • 为了计算p值，必须假想，在假定零位假说为真的下，无数次的重复实验，寻找一个结果的概率，使它尽量达到临界程度，还要包括比该界限度以外的那些结果。
  • 在科学社群中，似乎形成了一种习惯，在p值为0.05时作出的拒绝，称之为“有效的”结果。在0.01时所作出的拒绝，被称之为“极有效的”结果。    

“大理石球实验”的频率论者分析

• 背景：该实验抽取了15次，其中有4次是白色的，11次是蓝色球，通过贝叶斯范方式所得的结论，HB为真的概率为：0.999543，HW为真的的概率为：0.000457。当时的先验概率是通过抛掷硬币来决定的。
• 现在假定：对先验值一无所知
• 设定HW为零位假说，即：WWWB
  • 那么，抽中一次白球的概率为：0.75，抽中一个蓝球的概率为0.25.
  • 那么，抽中两次白球的概率为：0.75 X 0.75
  • 那么，抽中n次白球的概率为：0.75ⁿ
  • 同理，抽中m次蓝球的概率为：0.25^m
  • 那么，每次同时抽中n次白球和m次蓝球的概率为：0.75^m X 0.25ⁿ
• 现在假设，15次抽取中，抽中了w次白球，b次蓝球。
  • 就相当于，在15个球的序列中，出现了w个白球，b个蓝球
  • 在所有排列中，这种类型的排列共有：15! / (w! X b!) 种

• 那么，15次抽取中，出现w次白球，b次蓝球的概率为：

  • 所有可能性[15! / (w! X b!) ] X 每种可能的概率(0.75^m X 0.25ⁿ)
  • 上面这个公式是我加上的，基于目前的理解。

• 上表说明

  • 例如抽中5个蓝球和10个白球的概率为[15!/(5! X 10!)] X 0.25⁵ X 0.75¹⁰≈0.165146
  • 对于b值从0到15,所有可能的结果都列在此处，所有情况的概率值之和为1.
  • 最后表中的第三列是p值，是把所有抽中b个蓝球和更多个蓝色球的概率值都加到一起，所得的总和，就是b行的p值。
  • 这个特定的实验中，共抽到了11个蓝色球，相应的p值是0.000115，也就是用一种极为有效的结果排除了Hw的假说。
• 引申：
  • 上表的P值是用当前b值的概率值加上所有的>b的概率值计算出来的
  • 也可以用1去减所有已经排除了的概率值来得出
  • 这样有一个好处是，当得出一个想要的结论后，后续的实验就不是必须的了（不可能，想错了）