归纳与统计：概率计算的常见错误

概率推理中最常见的两种错误：1、忽略先验；2、颠倒的条件概率。

忽略先验概率

• 原问题：
  • 通过测血压检查一种罕见的疾病，其发病机会为每100000人中，会有一个患者。这种测试相当可靠；如果一个人患了病，它能够正确诊断出该病的概率为0.95，如果一个人没有患病，错误的诊断出该病的概率为0.005。
  • 问：如果经过测试，得出结果该人患了这种病，那么作出正确诊断的概率是多少。
• 重新整理：
  • 某种病的发病机会为每100000人中1人。
  • 现有一种方法可以检测此病。
  • 对患此病的人，检测出有病的概率为95%
  • 对没病的人，检测出有病的概率为0.5%
  • 问：现检测出一人有病，作出正确诊断的概率是多少？
• 重新整理后问题就简单多了
  • 这个人如果只是个有病的人，那么，正确诊断的概率就是95%。
  • 但问题是这个人即可能是有病的人，也可能是没病的人
  • 所以，正确的计算结果是大约2%，计算过程如下：
  • 
  • 也就是有病人的概率（或然率0.95乘以先验概率0.00001），除以有病人的概率与没病人概率的和。

颠倒的条件概率

• 原问题
  • 假定生男孩与生女孩的概率相等
  • 假定史密斯夫妇告诉你，他们有两个孩子，其中有一个是女孩
  • 问：另一个是女孩的概率是多少？
• 说明
  • 这个问题比较特殊，不同的描述语会可能会造成不同的误解，请注意下面两者的区别
    • A 已经生了一个女孩，再生一个女孩的机率
    • B 两个孩子中一个是女孩，另一个也是女孩的机率
  • A的答案是50%；B的答案是33%。
  • 两个孩子共有四种排列情况：2²＝4，分别是GG、GB、BB、BG。
  • A问题因为第一个已经是G了，排除掉BB和BG后，只剩下GG和GB两种可能，所以答案是50%。
  • B问题因为只说明一个是G，所以只能排除BB，剩下GG、GB、BG三种可能，所以答案是33%。
• 提示
  • “当”是一个很容易出现问题的词，P(X当Y)会引出三种不同的理解：P(X|Y)、P(Y|X)、P(X∩Y)
  • 每一种的计算结果都不一样