归纳与统计：概率

概率非常重要，在很多情况下，科学所能得出的最好答案，只是或多或少带有可能性的结论，而非绝对可靠，确定无疑。[P 151]

运用概率出现错误是最为普通的一类错误，即使经过科学期刊审查的专业文章也难免有错。[P 151]

概率有两种主要的概念，一种属于事件，另一种属于信念[P 151]

• 前者指一种客观的或物理的概率，某种事件出现的机会。比如：抛掷一个公平的硬币，出现正面的概率为0.5.
• 后者是主观的，或者是个人的、认识能力的概率，就是依据证据所保证的人们对一个命题相信的程度。例如：给出了今天的天气预报，人们对“今天有雨”可能按照概率90%的程度，相信其正确。
• 当然，个人主观的概率和客观概率往往交织在一起，特别是人的信念通常所关心的就是物质世界中的事件。

本书选中杰弗瑞斯的书为蓝本，从两个基本要求开始，提出八条规则，再提出七条公理，最后推导出多项定理。[P 155]

• 两个基本要求：[P156]

  • 普遍性：一个恰当的概率和归纳理论必须提供“一个普遍的方法”
  • 公正性：一个恰当的归纳理论必须是公正的。

• 八条普遍规则：[P 156]

  • 明确表述
  • 贯通一致
  • 合乎实际
  • 可以修改
  • 相信经验
  • 简单精练
  • 人文精神
  • 并非完美无缺

• 公理与规则，注意，这里可以和《逻辑学》中的概率定理相对照[P 159]

  • 公理1：P(B|A)是一个单独的数值0≤P(B|A)≤1
  • 公理2：如果A是B的子集，则P(B|A)＝1
  • 公理3：如果B和C是互斥的，则P（B∪C|A）＝ P(B|A) + P(C|A)
  • 公理4：P(B∩C|A)=P(B|A)XP(C|A∩B)

• 萨尔蒙对公理的解释：[P 160]

  • 公理1告诉我们：概率是一个独一无二的实数，在0到1区间内（包括端点数值）
  • 公理2宣称：如果所有的A都是一个B的话，那么，A是一个B的概率就是1
  • 公理3告诉我们：从一叠扑克牌中抽取黑色牌的概率，就等于抽取梅花的概率加上抽取黑桃的概率。然而它不适用于抽取黑桃或抽取人头牌时的概率，因为它们不是互斥的
  • 公理4的应用情况如：
    • 在一个坛子里装着三个白球三个黑球，我们想计算连续抽取两个白球的概率。为了便于说明，我们假定，抽取所有球的机会都是相等的，第一个球抽取出来之后，不再放入。
    • 第一次抽得白球的概率为1/2。
    • 如果第一次抽中了白球，那么第二次抽中白球的概率就是2/5,因为第一个白球已经已经取走。
    • 连续抽取两个白球的概率就是两次概率的乘积，即：1/5。
    • 如果在抽取第二次前，把第一次抽得的白球重新放回，那么，连续抽取两个白球的概率就是1/4。

• 仅给出了五个定理[P 161]

  • 定理1：P(━┓B|A)=1 - P(B|A)
  • 定理2：如果P(A|E)>=P(B|E)以及P(B|E)>=P(C|E)，则P(A|E)>=P(C|E)
  • 定理3：P(A|E)=(P(B|E)XP(A|E∩B))+(P(━┓B|E)XP(A|E∩━┓B)) [注：A事件在E条件下的概率，等于E条件下B事件发生时的概率，加上B事件不发生时的概率]
  • 定理4：如果A是B的子集，则P(A|E) =< P(B|E)
  • 定理5：P(A∪B|E)=P(A|E)+P(B|E)-P(A∩B|E)

• 知道概率定理的内容固然重要，但另一个重要的目的是，说明和解释清楚概率公理和定理的本质和功能，我们的目的在于真正理解它的意义。