第2章 描述性统计学
几个基本概念
- 变量及测量等级
- 测量可以划分成四个等级：
- 名称级：用于测量“定类变量”的值，是最低级别的测量等级
- 顺序级：用于测量“定序变量”的值，是可以按某种特性将观测对象排序的。
- 间隔级：用于测量“定距变量”的值，这种值之间不但可以比较大小顺序，还可以说明相差多少，即两上个值之间是有实际意义的。
- 比例级：用于测量“定比率变量”，这是最高的测量级别。
- 一般情况下，测量级别高的变量可以当作级别低的变量来分析，但反过来一般不可以
- 定类变量是属于定性型的；定距和定比率变量属于定量型；而定序变量则根据具体情况而定。
统计量
统计量是一个不包含任何未知参数的样本函数
频数表与直方图
频数表和直方图是最常用的定量而直观地整理、描述数据的手段之一
离散变量的情形
用频数表表格和直方图来表示某地区的家庭人口分布
频数表：纵：变量1、2、3、4……横：频数、相对频率（百分比），有效百分比（考虑缺失的数据）、总计
连续变量的情形
n＝200名成年男子的身高数据
频数表：纵：148-154、154-160、……等若干组；横：组中值、频数、相对频率、累计百分比
分布的中心
- 众数：一个分布的众数定义为出现次数最多的变量值
- 中位数：第是第50百分位数点上的值。如果是奇数，就是中间那个，否则，就是中间两个值的均值
- 平均数：均值
- 平均数的物理意义：可以看作数据的“平衡点”
- 均值、中位数和众数的比较
- 如果X的分布是单峰的对称分布，这时众数、中位数和平均数是一致的
- 对于一个偏斜的分布，相对于众数，中位数朝长尾巴方向偏离了一些，而均值刚偏离的更远
- 均值对异常值是较敏感的，而中位数不那么敏感
- 当分布比较有规则即不存在极端的值时，用均值代表分布的中心比较好，而在有极端值时，则用中位数更合适。众数虽然稳定性差，但有时会有用，比如评选最受欢迎的XXX
几个基本概念
变量及测量等级
测量可以划分成四个等级：
名称级：用于测量“定类变量”的值，是最低级别的测量等级
顺序级：用于测量“定序变量”的值，是可以按某种特性将观测对象排序的。
间隔级：用于测量“定距变量”的值，这种值之间不但可以比较大小顺序，还可以说明相差多少，即两上个值之间是有实际意义的。
比例级：用于测量“定比率变量”，这是最高的测量级别。
一般情况下，测量级别高的变量可以当作级别低的变量来分析，但反过来一般不可以
定类变量是属于定性型的；定距和定比率变量属于定量型；而定序变量则根据具体情况而定。
统计量
统计量是一个不包含任何未知参数的样本函数
频数表与直方图
- 频数表和直方图是最常用的定量而直观地整理、描述数据的手段之一
- 离散变量的情形
- 用频数表表格和直方图来表示某地区的家庭人口分布
- 频数表：纵：变量1、2、3、4……横：频数、相对频率（百分比），有效百分比（考虑缺失的数据）、总计
连续变量的情形
n＝200名成年男子的身高数据
频数表：纵：148-154、154-160、……等若干组；横：组中值、频数、相对频率、累计百分比
分布的中心
- 众数：一个分布的众数定义为出现次数最多的变量值
- 中位数：第是第50百分位数点上的值。如果是奇数，就是中间那个，否则，就是中间两个值的均值
- 平均数：均值
- 平均数的物理意义：可以看作数据的“平衡点”
- 均值、中位数和众数的比较
- 如果X的分布是单峰的对称分布，这时众数、中位数和平均数是一致的
- 对于一个偏斜的分布，相对于众数，中位数朝长尾巴方向偏离了一些，而均值刚偏离的更远
- 均值对异常值是较敏感的，而中位数不那么敏感
- 当分布比较有规则即不存在极端的值时，用均值代表分布的中心比较好，而在有极端值时，则用中位数更合适。众数虽然稳定性差，但有时会有用，比如评选最受欢迎的XXX
| 均值 |
中位数 |
众数 |
| 适用于定距或定比变量 |
主要适用于充序变量 |
主要适用于定类变量 |
| 最稳定 |
较均值的稳定性差 |
最不稳定 |
| 计算时要用到全部数据 |
只需中间的数据 |
可最快速求出 |
| 受极端值的影响 |
对极端值不敏感 |
有时对个别值的变动也很敏感 |
| 分组变化时影响不大 |
分组变化时有些影响 |
分组变化时影响较大 |
分布的形状
- 极差：最大值减最小值
- 均方差：所有值与均值的平方和，除以样本量
- 方差：所有值与均值的平方和，除以总数减1
- 标准差：方差的平方根
- 四分位数：人们经常需要将数据划分为四部分，每一部分大约包含1/4或25%的观察值。
- Q1＝第一四分位数，或第25百分位数
- Q2＝第二四分位数，或第50百分位数
- Q3＝第三四分位数，或第75百分位数
极差、四分位数差和标准差的比较
| 标准差 |
四分位数差 |
极差 |
| 适用于定距或定比变量 |
主要适用于定序变量 |
适用于定距或定比变量 |
| 最稳定 |
较标准差的稳定性弱 |
最不稳定 |
| 计算时要用到全部数据 |
只需要其中两段的数据 |
只需要两个值，可快速估算 |
| 受极端值的影响较大 |
对极端值不敏感 |
只对极端值的变化敏感 |
- 一般来说，样本均值是对分布中心最普遍的度量，而样本标准并有S则是对分布形状的最常用的度量。有时我们称平均值和方差为样本的一阶矩和二阶矩。
- 自由度：对于方差，只有n超过1时才能得到它的信息，所以我们只有（n－1）个信息，习惯上，称信息的个数为自由度，因此：一个自由度被均值占用，余下的（n－1）个自由度留给了方差。
利用相对频率进行计算
- ˉx=∑X（f/n），也就是说，ˉx是所有组中值X的加权之和（与P(D)XP(D|H)类似），加权系数就是对应组的相对频率f/n
- MSD（均方差）≈∑(X－ˉx)2(f/n)，也就是说，组中的所有值与均值的差的平方乘以相对频率的和
- S2＝（n/（n－1））MSD
其他描述分布的统计图和统计量